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<!DOCTYPE html>

<title>Relation de Chasles</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Relation de Chasles</span></h1>

</header>

</div>

<p>En <a href="Math%C3%A9matiques" title="Mathématiques">mathématiques</a>, plus précisément en <a href="Calcul_vectoriel_en_g%C3%A9om%C3%A9trie_euclidienne" title="Calcul vectoriel en géométrie euclidienne">géométrie vectorielle euclidienne</a>, la <b>relation de Chasles</b> est une <a href="Relation_(math%C3%A9matiques)" title="Relation (mathématiques)">relation</a> permettant d'additionner deux <a href="Vecteur" title="Vecteur">vecteurs</a> dans un <a href="Espace_affine" title="Espace affine">espace affine</a>. Par extension, elle peut aussi être utilisée en <a href="G%C3%A9om%C3%A9trie_plane" title="Géométrie plane">géométrie plane</a>, en <a href="Int%C3%A9gration_(math%C3%A9matiques)" title="Intégration (mathématiques)">intégration</a>, en <a href="Analyse_complexe" title="Analyse complexe">analyse complexe</a>, etc.

</p><p>Son nom vient de <a href="Michel_Chasles" title="Michel Chasles">Michel Chasles</a>, un mathématicien français du <abbr class="abbr" title="19ᵉ siècle"><span class="romain">XIX</span><sup style="font-size:72%">e</sup></abbr> siècle, dont les travaux en <a href="G%C3%A9om%C3%A9trie" title="Géométrie">géométrie</a> ont contribué à son adoption dans le monde francophone<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>note 1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Calcul_vectoriel">Calcul vectoriel</h2></div>

<p>La relation de Chasles permet de calculer la <a href="Somme_vectorielle" title="Somme vectorielle">somme</a> de deux vecteurs dans un espace affine, quand l'extrémité du premier est choisie égale à l'origine du second. Elle s'énonce de la manière suivante.

</p><p>Pour tous <a href="Point_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Point (géométrie)">points</a> <i>A</i>, <i>B</i> et <i>C</i> d'un espace affine, on a :

</p>

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AC}}.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9d83fba298d13fefb1b721860e2bf858bfbe46ac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; margin-top: -0.372ex; width:17.659ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AC}}.}" loading="lazy"></span></center>

<p>Cette <a href="Identit%C3%A9_(math%C3%A9matiques)" title="Identité (mathématiques)">identité</a> signifie que la <a href="Translation_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" class="mw-redirect" title="Translation (géométrie)">translation</a> du point <i>A</i> vers le point <i>C</i> peut être réalisée en passant par un point quelconque <i>B</i>. La translation de vecteur <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overrightarrow {AC}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overrightarrow {AC}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/97d9df67ca7a8508762626006a117fd0f2b31dc9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; margin-top: -0.372ex; width:3.707ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle {\overrightarrow {AC}}}" loading="lazy"></span> est ainsi la <a href="Composition_de_fonctions" title="Composition de fonctions">composée</a> de deux translations : celle de vecteur <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b245e60e48c3c8f577aaf9512a1bdf3049cc6207.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; margin-top: -0.372ex; width:3.637ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}" loading="lazy"></span> et celle de vecteur <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overrightarrow {BC}}.}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overrightarrow {BC}}.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/815ea0e83e69698ec1f1c180e1c7550e15117a6b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; margin-top: -0.398ex; width:4.375ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle {\overrightarrow {BC}}.}" loading="lazy"></span>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Angles_orientés"><span id="Angles_orient.C3.A9s"></span>Angles orientés</h2></div>

<p>On retrouve aussi cette propriété pour décrire une relation entre des <a href="Angle#Les_angles_orientés_de_vecteurs_forment_un_groupe" title="Angle">angles orientés</a> en <a href="G%C3%A9om%C3%A9trie_plane" title="Géométrie plane">géométrie plane</a>.

</p><p>Pour tous vecteurs <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/302f55f1883a735761a86e46d8ba6f24a8841b77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.237ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}}" loading="lazy"></span> non nuls, on a :

</p>

<mover>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mover>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mover>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\widehat {{\vec {u}},{\vec {v}}}})+({\widehat {{\vec {v}},{\vec {w}}}})=({\widehat {{\vec {u}},{\vec {w}}}}).}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/554fef7ec9c3ddfc174c921dc3312a914162dce8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.454ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle ({\widehat {{\vec {u}},{\vec {v}}}})+({\widehat {{\vec {v}},{\vec {w}}}})=({\widehat {{\vec {u}},{\vec {w}}}}).}" loading="lazy"></span></center>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Mesures_algébriques"><span id="Mesures_alg.C3.A9briques"></span>Mesures algébriques</h2></div>

<p>On trouve aussi cette propriété pour exprimer des <a href="Mesure_alg%C3%A9brique" title="Mesure algébrique">mesures algébriques</a> sur une <a href="Orientation_(math%C3%A9matiques)#La_droite" title="Orientation (mathématiques)">droite orientée</a>.

</p><p>Pour tous points <i>A</i>, <i>B</i> et <i>C</i> d'une droite orientée, on a :

</p>

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AB}}+{\overline {BC}}={\overline {AC}}.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3d9cca3f01405cd60bb25bea71b90dc7a742f8c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:17.613ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AB}}+{\overline {BC}}={\overline {AC}}.}" loading="lazy"></span></center>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Intégration"><span id="Int.C3.A9gration"></span>Intégration</h2></div>

<p>Il existe aussi une relation de Chasles en <a href="Int%C3%A9gration_(math%C3%A9matiques)" title="Intégration (mathématiques)">calcul intégral</a>.

</p><p>Si <span class="texhtml"><i>f</i></span> est une fonction intégrable sur un intervalle <span class="texhtml"><i>I</i></span>, alors pour tous <span class="texhtml"><i>a</i></span>, <span class="texhtml"><i>b</i></span> et <span class="texhtml"><i>c</i></span> dans <span class="texhtml"><i>I</i></span>, on a :

</p>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{a}^{b}{f(x)\mathrm {d} x}+\int _{b}^{c}{f(x)\mathrm {d} x}=\int _{a}^{c}{f(x)\mathrm {d} x}.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1d43c7b2c63d7fa94c1bab3d4885161abc3602e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:39.085ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{a}^{b}{f(x)\mathrm {d} x}+\int _{b}^{c}{f(x)\mathrm {d} x}=\int _{a}^{c}{f(x)\mathrm {d} x}.}" loading="lazy"></span></center>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Somme">Somme</h2></div>

<p>Dans le cas de <a href="Somme_(arithm%C3%A9tique)" title="Somme (arithmétique)">sommes</a>, on dispose d'une relation analogue au cas de l'intégration, à ceci près que la deuxième somme débute au rang <i>suivant</i> la fin de la première (et non pas au même rang).

</p><p>Plus formellement, pour tous <a href="Entier_naturel" title="Entier naturel">entiers naturels</a> <span class="texhtml"><i>m</i></span>, <span class="texhtml"><i>n</i></span> et <span class="texhtml"><i>p</i></span> tels que <span class="texhtml"><i>m</i> ≤ <i>n</i> < p</span>, on a :

</p>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{k=m}^{n}{x_{k}}+\sum _{k=n+1}^{p}{x_{k}}=\sum _{k=m}^{p}{x_{k}}.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e2192383c4b51522a6db13e0d904b82482f90643.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:27.38ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle \sum _{k=m}^{n}{x_{k}}+\sum _{k=n+1}^{p}{x_{k}}=\sum _{k=m}^{p}{x_{k}}.}" loading="lazy"></span></center>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Rapport_anharmonique">Rapport anharmonique</h2></div>

<p>Par extension, il existe également une relation de Chasles multiplicative (et non pas additive comme l'originale) pour le <a href="Rapport_anharmonique" class="mw-redirect" title="Rapport anharmonique">rapport anharmonique</a> de <a href="Nombres_complexes" class="mw-redirect" title="Nombres complexes">nombres complexes</a>.

</p><p>Si l'on note <span class="texhtml">(<i>a</i>, <i>b</i> ; <i>c</i>, <i>d</i>)</span> le rapport anharmonique des quatre nombres complexes <span class="texhtml"><i>a</i></span>, <span class="texhtml"><i>b</i></span>, <span class="texhtml"><i>c</i></span> et <span class="texhtml"><i>d</i></span>, alors pour tous nombres complexes <span class="texhtml"><i>a</i></span>, <span class="texhtml"><i>b</i></span>, <span class="texhtml"><i>c</i></span>, <span class="texhtml"><i>d</i></span> et <span class="texhtml"><i>e</i></span> deux à deux distincts, on a :

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,b~;~c,d)\times (a,b~;~d,e)=(a,b~;~c,e).}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5c2413c86446383c3ceb71d4ba532ebd40decc25.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:38.097ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,b~;~c,d)\times (a,b~;~d,e)=(a,b~;~c,e).}" loading="lazy"></span></center>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes">Notes</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a> </span><span class="reference-text">Dans le monde anglophone, cette relation fait partie des axiomes de base de la géométrie vectorielle et n'est pas rattachée au nom de Chasles. <a href="#NomizuSasaki2008">Nomizu et Sasaki</a> l'intègrent aux axiomes de Weyl (voir « <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Affine_space#Subtraction_and_Weyl.27s_axioms" class="extiw external" title="en:Affine space">Affine space</a> » sur le Wikipédia anglais).</span>

</li>

</ol></div>

</div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bibliographie">Bibliographie</h2></div>

<ul><li><span class="ouvrage" id="NomizuSasaki2008"><span class="ouvrage" id="Katsumi_NomizuTakeshi_Sasaki2008">Katsumi <span class="nom_auteur">Nomizu</span> et Takeshi <span class="nom_auteur">Sasaki</span>, <cite class="italique">Affine Differential Geometry</cite>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 111, <a href="Cambridge_University_Press" title="Cambridge University Press">Cambridge University Press</a>, <abbr class="abbr" title="collection">coll.</abbr> « Cambridge Tracts in Mathematics », <time>2008</time>, 280 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <small style="line-height:1em;">(<a href="International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <span class="nowrap">978-0-521-06439-2</span>, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.cambridge.org/us/academic/subjects/mathematics/geometry-and-topology/affine-differential-geometry-geometry-affine-immersions">présentation en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Affine+Differential+Geometry&rft.pub=Cambridge+University+Press&rft.aulast=Nomizu&rft.aufirst=Katsumi&rft.au=Sasaki%2C+Takeshi&rft.date=2008&rft.volume=111&rft.tpages=280&rft.isbn=978-0-521-06439-2&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ARelation+de+Chasles"></span></span></span>.</li></ul>

/* start https://fr.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .autres-projets>.titre{text-align:center;margin:0.2em 0}.mw-parser-output .autres-projets>ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .autres-projets>ul>li{list-style:none;margin:0.2em 0;text-indent:0;padding-left:24px;min-height:20px;text-align:left;display:block}.mw-parser-output .autres-projets>ul>li>a{font-style:italic}@media(max-width:720px){.mw-parser-output .autres-projets{float:none}}

/* end https://fr.wikipedia.org/ */

</style>

<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer" typeof="mw:File"></span></span> <span class="bandeau-portail-texte">Portail des mathématiques</span> </span></li> </ul></div><div><div class="zim-footer">

Cet article est issu de <a class="external text" title="Dernière modification le 2024-02-19" href="https://fr.wikipedia.org/wiki/?title=Relation_de_Chasles&oldid=212607074">Wikipédia</a>. Sauf mention contraire, le texte est disponible sous <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.fr">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a>. Des conditions supplémentaires peuvent s’appliquer aux fichiers multimédias.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>